Questões de Matemática Aplicada à Administração

Aplicações das Funções

O uso de funções na resolução de problemas ligados à administração e a economia é muito comum, principalmente nos problemas que envolvem custos, lucros, demandas, ofertas, receitas, ponto de equilíbrio, ponto de break-even, etc.

Exemplo:

1. Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por C(x) = x³ + x² + 2x + 100, sendo x a quantidade produzida, calcule:

(a) o custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria.

Solução:

Para x = 5, temos:

C(5) = 5³ + 5² + 2.5 + 100 = 125 + 25 + 10 + 100 = 260

(b) o custo total para produzir 10 unidades dessa mercadoria.

Solução:

Para x = 10, temos:

C(10) = 10³ + 10² + 2.10 + 100 = 1000 + 100 + 20 + 100 = 1220

(c) a função custo médio e o custo médio para produzir 5 unidades dessa mercadoria

Solução:

CMe(x) = C(x) : x

CMe(x) = [x³ + x² + 2x + 100] : x

CMe(x) = x² + x  + 2 + 100/x

Para x = 5, temos:

CMe(x) = C(x) : x

CMe(x) = C(5) : 5

CMe(x) = 260 : 5

CMe(x) = 52

2. A função demanda para um produto de Certa Companhia é y = [200] : [2 + 0,5.x], sendo x a quantidade demandada e y o preço unitário.

(a) Determine a quantidade x como função do preço y.

Solução:

y = [200] : [2 + 0,5.x]

y = 2 + 0,5.y = 200/y

0,5.x = 200/y – 2

x = 200/0,5.y – 2/0,5

x = 400/y – 4  ou

x = [400 – 4y] / y

(b) Determine o número de unidades quando o preço for de R$ 10,00.

Solução:

Para y = 10, temos:

x =  [400 – 4y] : y

x = [400 – 4.10] : 10

x = [400 – 40] : 10

x = 360 : 10

x = 36.

3. A função receita é dada por R = x² + 4x + 100 e a função custo por C = x + 80, sendo x a quantidade.

(a)  Determine a função lucro L.

Solução:

L = R – C

L = x² + 4x + 100 – (x – 80)

L = x² + 3x + 20

(b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 10?

Para x = 10, temos:

L = x² + 3x  + 20

L = 10² + 3.10 + 20

L = 100 + 30 + 20

L = 150.

4. As funções de oferta e demanda  de um produto  são, respectivamente , y = 2x + 80 e y =  – 4x + 200.

(a) Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.

Basta resolver o sistema:

I.  y = 2x + 80

II. y =  – 4 x + 200

Igualando, os termos temos:

2x + 80  =  – 4 x + 200

6x = 120

x = 120 : 6

x = 20

Substituindo a primeira equação, temos:

 y = 2x  + 80

y = 2.20 + 80

y = 40 + 80

y = 120

Portanto, o ponto de equilíbrio é  E(20,120).

(b) Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio.

Como as funções são lineares, e já determinamos o ponto de equilíbrio, basta determinar mais um ponto para cada  uma delas. Para a função oferta: y = 2x + 80,  temos: x = 0 e y = 80 e para a função demanda: y = - 4x + 200, temos: x = 0 e y = 200.

(c) Para que valores  de x o preço de oferta excede o preço de demanda?

Solução:

Observando o gráfico, nota-se que para valores de x > 20, o preço de oferta é superior ao preço de demanda.

5. Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indústria que produz relógios de parede é de R$ 8.500,00 e que o custo variável é de R$ 10,00 por relógio fabricado. O preço de venda é de R$ 80,00 por relógio.

(a) Se x relógios são vendidos  durante um mês, qual é o custo mensal y como função de x? (Lembre-se que CT = CV + CF)

Onde:

CT = Custo Total;

CV = Custo Variável;

CF = Custo Fixo.

Solução:

Custo total = custo variável  + custo fixo

CT = CV + CF

10x + 8500

(b) Qual o lucro no mês de julho se 500 relógios forem vendidos neste mês? (Lembre-se que L = R – C)

Onde:

L = Lucro;

R = Receita;

C = Custo.

Solução:

L = R – C, sendo R = 80x. Portanto, L = 80x – (10x + 8500)

L = 70x – 8500

L = 70 x 500 – 8500

L = 35000 – 8500

L = 26.500

(c) Quantos relógios devem ser vendidos em determinado mês, para que não haja lucro e nem prejuízo? (Considere L = 0)

Solução:

Fazendo L = 0 em L = 70x – 8500, temos:

0 = 70x – 8500

70x = 8500

x = 8500 : 70

x = 121 

6. Uma fábrica de bicicletas tem um custo fixo de R$ 200.000,00 por mês. Sabe-se que cada bicicleta produzida tem um custo de R$ 500,00 e o preço de venda é de R$ 800,00 por bicicleta. Quantas bicicletas deve a indústria produzir para ter um lucro de R$ 400.000,00 por mês? 

Solução:

Custo total = custo variável + custo fixo

C = 50x  + 20000

Receita Total é igual a R = 80x

Lucro = Receita total – Custo total

L = R – C

L = 80x – (50x + 20000)

L = 30x – 20000

Para L = 40000, temos:

40000 = 30x – 20000

30x = 60000

x = 2000 bicicletas

Tente resolver as questões abaixo elencadas! Questões extraídas do livro matemática aplicada para os cursos de administração, economia e ciências contábeis do prof. Jair Mendes Marques (página 40, Editora Juruá).

Exercícios Propostos

1. Um fabricante de máquinas de cortar grama tem um custo fixo de R$ 5.000,00 e um custo variável de R$ 100,00 por máquina produzida.

(a) Encontre o custo para produzir 500 máquinas. (Gabarito: R$ 55.000,00)

(b) Calcule o custo adicional quando a produção for elevada de 500 para 800 máquinas. (Gabarito: R$ 30.000,00)

(c) Quantas máquinas poderão ser produzidas a um custo de R$ 80.000,00? (Gabarito: 750)


2. Para o problema anterior, sabe-se que cada máquina é vendida por R$ 150,00.

(a) Determine a função receita total. (Gabarito: R = 150x)

(b) Qual é o faturamento gerado por 200 máquinas? (Gabarito: R$ 30.000,00)

(c) Determine a função lucro. (Gabarito: L = 50x – 5000)

(d) Qual é o lucro resultante da venda de 800 máquinas? (Gabarito: R$ 35.000,00)


3. Uma empresa estima que o faturamento total obtido com a venda de x máquinas fotográficas por ano é dado pela função R(x) = 2x² + 50x + 200.

(a) Represente graficamente a função R(x);

(b) Qual deve ser o nível de venda para que o faturamento seja de R$ 100.000,00? (Gabarito: Aproximadamente 211)

(c) Qual será o faturamento obtido com a venda de 2.000 máquinas fotográficas? (Gabarito: R$ 8.100.200,00)

4. Num modelo quadrático de oferta e demanda, essas funções são dadas, respectivamente, por p(x) = 0,5x² + 2 e p(x) = -0,25x² + 5, onde p = preço e x = quantidade.

(a) Determine algebricamente o ponto de equilíbrio; (Gabarito: E(2,4))

(b) Represente graficamente as duas funções, identificando o ponto de eq           uilíbrio.

(c) Para quais valores de x o preço de oferta é superior ao preço de demanda? (Gabarito: x > 2)

5. Uma indústria metalúrgica fabrica torneiras tendo um custo fixo de R$ 8.000,00 por mês. Se cada torneira fabricada tem um custo de R$ 10,00 e o preço de venda é de R$ 18,00 por torneira, quantas torneiras a indústria deverá produzir para ter um lucro de R4 16.000,00 por mês? (Gabarito: 3.000)

6. O custo unitário das máquinas de lavar louça de certa Companhia é R$ 250,00, sendo o custo fixo associado à produção igual a R$ 20.000,00. Sendo o preço de venda de cada máquina igual a R$ 400,00, determine:

(a) a função custo total; (Gabarito: C = 20.000 + 250x)

(b) a função receita total; (Gabarito: R = 400x)

(c) a função lucro total; (Gabarito: L = 150x – 20.000)

(d) o ponto de break-even; (Gabarito: 440/3, 160.000/3)

(e) a produção necessária para a obtenção de um lucro de R$ 55.000,00. (Gabarito: 500)

7. Uma indústria produz 2.000 unidades de um bem de consumo, sendo o lucro bruto obtido pela venda da produção igual a R$ 20.000,00. Sabe-se que o custo fixo de produção é R$ 2.000,00 e que o preço de venda de cada unidade do bem é R$ 15,00. Calcular:

(a) o custo unitário de produção; (Gabarito: R$ 4,00)

(b) o ponto de break-even; (Gabarito: aproximadamente (182, 2730)

(c) a produção necessária para um lucro de R$ 24.000,00. (Gabarito: aproximadamente 2.364)

8. Sabe-se que a equação da demanda de um bem é dada por x = 200 – 4p, sendo o custo associado C = 4p – 12. Determinar:

(a) a função receita total, traçando o gráfico correspondente; (Gabarito: R = 200p - 4p²)

(b) o ponto de break-even; (Gabarito: aproximadamente (49, 184))

(c) a função lucro, traçando o gráfico correspondente. (Gabarito: L = 4p² + 196p + 12).